本文摘编自《数学极客：探索数字、逻辑、计算之美》，如需转载请联系我们
本文介绍一个让我恼火的数字。我不是黄金比例φ（“phi”）的忠实粉丝。这个数字被各种滥用，以至于很多我们听说的所谓的黄金比例都不是真正的黄金比例。
例如：新时代的金字塔崇拜者声称，埃及最伟大的金字塔有些属性来自于黄金比例，但是事实上，它们并没有。动物神秘主义者声称，在一个蜂巢中，虫卵中雄蜂的比例也接近是一个黄金比例，但是它也并不是真的。
简单来说，黄金比例的值等于，或者说近似等于1.6，只是比1.5多了那么一点点。很自然地这个数字会接近很多事物。如果某物接近1.5，那么它就接近黄金比例。而且因为黄金比例的无处不在的名声，人们就断然假定：哇，嘿，看，它是黄金比例！
例如，最近竟然有一个调查声称，女人的胸围和臀围的理想比例是和黄金比例有关的。为什么？显然大家都知道黄金比例具有最佳审美比例的特点。
所以当他们做一个调查，让男人去给不同照片的女人的漂亮程度打分的时候，而当你看到那些打分结果时，你只要稍微动一下歪念头：哇，那些得分最高的女人的胸围臀围比例都非常接近黄金比例。
没有什么理由去相信它，就像没有理由去相信黄金比例很重要一样，但是却有很多理由去不相信它。（比如，女人的完美身材标准随着历史的发展不断地变化。）
但是如果你抛弃所有这些荒谬的东西，黄金比例还是一个有趣的数字。我个人觉得它有趣的原因是因为它的表示。当被以不同的方法表示时，数字的结构会以难以置信的方式变得浅显易懂。例如，如果你将黄金比例表示为连分数的形式，你将得到：
也被记作：[1；1，1，1，1…]。如果你将其表示为一个连续的平方根形式，它是：
这些φ的不同表示不仅漂亮，它们还告诉我们一些关于这个数字的合理的有趣的属性。φ的连分数表示告诉我们φ的倒数是φ-1. 而连续平方根形式告诉我们φ2=φ+1。同样也有不同的方式来表述φ的几何含义，我们将在下一个部分介绍。
01 什么是黄金比例？
那么到底什么是黄金比例？它是式子(a+b)/a=(a/b)的解。也就是说，如果给你一个矩形，而且它两条边的长度比例是1:φ，当你从该矩形中去掉可能的最大正方形后，你将得到一个矩形，而且它的长宽比例是φ:1；当你剩下的矩形中去掉的最大正方形后，你将得一个新矩形，它的长宽比例是1:φ，以此类推。你可以从图3中看几何解释的基本思想。
▲图3：黄金比例，黄金比例是一个理想矩形的长宽比例，当你从这个矩形中去掉一个最大的正方形后，你将得到一个矩形，而且它依然具有长宽黄金比例的性质
据说，如果一个矩形的长宽比例正好是黄金比例时，那么该矩形从美学的角度看起来最美。我不是一个足够分量的视觉艺术家，我不能去批评该观点，所以我总是简单地相信它。
但是这个比例的确在几何学的很多地方出现。例如，如果你画一个标准的五角星，那么从某个角的顶点到另一个角的边的距离和那个角的内部的长度的比例是φ:1. 如图4（黄金比例和五角星）所示。
▲图4：黄金比例和五角星 另一个黄金比例的例子，在五角星中央五角形周围的等腰三角形中找到
黄金比例也和斐波纳契（）数列有关。以防你不记得了，复习以下：斐波那契序列是这样的一个数字序列，序列中的每个数字都是它前面两个数字的和：1，1，2，3，5，8，13，……如果Fib(n)是序列中的第n个数，那么你能通过下面的公式计算：
02 荒唐的传奇
关于黄金比例的历史，有成千上万的故事。但是，其中大部分都是胡诌的。
很多历史故事会告诉你，埃及的金字塔是按照黄金比例建造的，或者希腊庙宇的很多特征的比例是为了满足黄金比例而建造的。但是像这样带着黄金比例光环的故事，大多都是无中生有、空穴来风。
让我们考察一个猜想的例子，金字塔和黄金比例的关系。如果你观察胡夫大金字塔（Great of Khufu）的正面，那么就会发现它和黄金比例的关系只是一个粗略的近似。黄金比例大约等于1.62，然而胡夫大金字塔两条边长度的比例等于1.57。胡夫大金字塔以它构建的精准度而闻名世界，但是考虑到金字塔的大小，这个错误会是6英尺。这种错误和神话并不相符。
但是，如此多的神话学者是如此的坚信黄金比例一定是建造金字塔时考虑的一个因素，以至于他们挣扎着寻找很多理由去证明它。为了满足自己的期望，很多人会无所不用其极。例如：一位主要写金字塔神话的作家，托尼·史密斯先生（Mr. Tony Smith）辩论说，金字塔正面两边比例的选择是为了让朝地面的那个角正好是黄金比例的平方根的倒数的反正弦。
我们的确知道黄金比例是毕达哥拉斯（）的某个崇拜者发现的，很有可能是希帕索斯（），我们在无理数历史中被溺死的可怜朋友。
黄金比例在古希腊广为人知。欧几里得（）在他的著作《几何原本》()里写过它，柏拉图（Plato）在他的哲学作品里也写过它。事实上，我坚持认为柏拉图是所有这些和黄金比例牵扯频繁的胡诌乱侃的始作俑者。他相信世界是由四种成分组成的，而且每一个都是由完美的几何体构成的。
对柏拉图来说，这些完美的几何体自身都具有完美的比例，这些比例中第一个就是黄金比例。对柏拉图来说，黄金比例是宇宙最基础的部分之一。
实际上，黄金比例被称为φ的原因是因为一篇介绍希腊雕刻家菲迪亚斯（）（公元前490-430）的文章，菲迪亚斯在他的作品里面使用了黄金比例，而他的名字的希腊文的第一个字母就是φ。
希腊人之后，大家并没有对φ有多大的兴趣，直到第十六世纪，一位在艺术和数学的研究都非常闻名的和尚，帕乔利（）（1445-1517），他写了一篇文章《神圣的比例》（The ）讨论黄金比例及其在建筑和艺术上的应用。当达芬奇（Da Vinci）在学习帕乔利的这篇文章时，被黄金比例深深的吸引，作为直接结果，黄金比例在达芬奇的很多素描和绘画中都扮演了重要的角色。特别是他著名的《维特鲁威人》（ Man）（如图5所示，达芬奇的维特鲁威人）素描，图解了一个人的身体是怎么体现黄金比例的。
▲图5：达芬奇的维特鲁威人，达芬奇相信人的身体体现了黄金比例
当然，一旦达芬奇拥抱了黄金比例，欧洲大陆所有的艺术家和建筑家立刻就跳入了这个潮流。并且这个潮流一直延续到今天，黄金比例仍然被艺术家和建筑师广泛使用。
03 它真正存在的地方
如前所述，虽然人们总是在黄金比例不存在的地方看到它，但是它却的确是货真价实地存在的，并且它会在某些令人惊奇的奇怪场合出现。
几乎所有黄金比例出现的地方都和斐波那契数列有关，这是因为斐波那契数列和黄金比例是有紧密联系的。不管什么地方，只要斐波那契数列出现，你就一定能找到黄金比例的身影。
例如，西方音乐的基本音阶是在斐波那契数列的基础上建立起来的，而大多数声乐的和弦结构中，就有很多的音调与和弦结构存在黄金比例的例子。不少音乐家已经非常好地利用了这个特点。其中，我最喜欢二十世纪伟大的作曲家巴托克·贝拉（Béla Bartók）（1881-1945），他将黄金比例这个特点作为基础结构应用在他的一些作品里。最精彩的是他的十二部赋格曲“Music for ，，and ”的一个部分，据我所知，这是欧洲音乐金曲中唯一的一首12部赋格曲。
为了乐趣，你可以基于黄金比例建立一个称为黄金进制的数字体系。它是一个奇怪的数字系统，有一些有趣的属性。在黄金进制，因为黄金比例是一个无理数，所以在黄金进制里，每一个有理数都将有一个没有穷尽的表示：这就是说，在黄金进制里，每个有理数看起来像无理数。那么是否黄金进制对于某些事物是有用的呢？不见得，但无论如何，它却很整齐！
关于作者：马克·查-卡罗尔（Mark C. Chu-），拥有大学博士学位，目前在担任数据基础架构软件工程师，之前曾在、担任高级软件工程师。他一直从事编程语言和软件开发工具方面的研究工作，有超过20年的从业经验。
本文摘编自《数学极客》，经出版方授权发布。
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