一、黑白帽子问题（又名杀狗问题）
一群人在一起做一个游戏。每人随机分了一顶白色或黑色的帽子（黑帽子至少有1顶）。每人都可以看到其它人的帽子颜色，但不能看到自己的。主持人说让大家根据别人帽子的颜色猜自己帽子的颜色，关灯，如果有人认为自己戴的是黑色帽子就喊出来。如果没人报，打开灯，让大家观察，然后再关灯。
第一次关灯，没人报数；开灯然后第二次关灯，仍没有动静；直到第三次关灯后，才有人喊出来。请问，有几顶黑帽子？
解法：
假设只有1人戴黑帽子：
第1次关灯的时候会有两种情况：带白帽子的人会看到1顶黑帽子；这种情况下，由于每个人不知道自己帽子的颜色，所以所有带白色帽子的人都可以得到结论：黑帽子不是1顶就是2顶。带黑帽子的人会看到所有人都是白帽子。这时候，带黑帽子的人就知道，他戴的肯定是黑色的。因为，黑帽子至少有1顶，而自己看到全是白色帽子，所以只能他带的是黑色的，从而在第一次关灯的时候就可以报出帽子颜色为1。排除。
假设有2人戴黑帽子：带白帽子的人会看到2顶黑帽子；这种情况下，由于每个人不知道自己帽子的颜色，所以所有带白色帽子的人都可以得到结论：黑帽子不是2顶就是3顶。带黑帽子的人会看到其他人中只要一顶黑帽子，其余所有人都是白帽子。所以他得到结论：黑帽子不是1顶就是2顶。但是由于他不知道自己的帽子颜色，所以也无法报数。然后第一次关灯后，没人报数。这时候，带黑帽子的人就知道肯定有2顶黑帽子，除了可以看到的那一顶，自己的也是，否则第一次关灯的时候就会报数了。因此，第二次关灯的时候，就会进行报数。
假设有3人戴黑帽子：带白帽子的人会看到3顶黑帽子；这种情况下，由于每个人不知道自己帽子的颜色，所以所有带白色帽子的人都可以得到结论：黑帽子不是3顶就是4顶。带黑帽子的人会看到其他人中只有2顶黑帽子，其余所有人都是白帽子。所以他得到结论：黑帽子不是2顶就是3顶。但是由于他不知道自己的帽子颜色，所以也无法报数。按照上边的逻辑。所有人都知道第一次关灯是不会有任何人报数的。第二次关灯后，没人报数。这时候，带黑帽子的人就知道肯定有3顶黑帽子，除了可以看到的那2顶，自己的也是，否则第二次关灯的时候就会报数了。因此，第三次关灯的时候，就会进行报数。
这样依次往后推，可以得出，第几次关灯有人喊，就是有几顶黑色帽子。
结论
这个问题实际采用类推法做的，从1顶开始推到n顶，有多少顶就会在第多少次关灯就会有人报数。 实际上，这个问题还有个名子叫杀狗问题，其实问法是一样的，仅仅问题情节不同而已，描述如下：
村子中有50个人，每人有一条狗。在这50条狗中有病狗（这种病不会传染）。于是人们就要找出病狗。每个 人可以观察其他的49条狗，以判断它们是否生病，只有自己的狗不能看。观察后得到的结果不得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推算出自己家的是病狗就 要枪毙自己的狗，而且每个人只有权利枪毙自己的狗，没有权利打死其他人的狗。第一天，第二天都没有枪响。到了第三天传来一阵枪声，问有几条病狗，如何推算 得出？
二、老鼠试毒药问题
有1000瓶酒，其中1瓶有毒。而一旦吃了，毒性会在1天后发作。现在我们用小老鼠做实验，要在1天后找出有毒的酒。试问最少用多少只老鼠可以找出毒药。
本题主要考察二进制编码：
10只老鼠按顺序排好，每桶酒按照编号转换成二进制，给相应位置上是1的老鼠喝。最后按死掉的老鼠是哪几只，然后排成二进制，再转成十进制就是第几桶酒。答案是10只。
比如：第70桶酒，70转换成二进制就是，那么就给第四、八、九只老鼠喝。如果最后死掉第三、七、八只老鼠，那么就是，转换成十进制就是140，即140桶酒有毒。
也就是10只老鼠，每个老鼠有两种状态，也就是二进制中的0和1，这样就是2的10次方，可以表达1024种结果，但是2的9次方512就表达不了这么多结果了。所以1000个方案至少要用10只老鼠来表示。
三、张三买水问题
2元可以买一瓶水，2个空瓶可以换一瓶水。问张三花20元钱最后一共可以喝多少瓶水？
19瓶+一个空瓶子
10+5+2+1+（1）
衍生一下:
39元
39+19+9+4+2+1+（2）+（1）
1+1+1
四、天平称西瓜问题
张三有9个西瓜，其中1个的重量是低于其他8个的，其他8个西瓜的重量是一样的，问至少用几次天平就肯定可以找出最轻的西瓜：
答案是2次。
解题思路：因为只有1个天平，因此可以将西瓜分成3份，将其中的2份分别放在天平的左边和右边，如果天平向哪边倾斜，说明轻西瓜就在其中，如果天平不倾斜，轻西瓜就肯定在没有放上天平的那3个中，这样一步就肯定可以知道这个最轻的西瓜在哪3个中，再对这3个西瓜进行上一步的步骤，随机挑选2个西瓜放在天平上，就可以找到最轻的那个西瓜了。
五、数字找规律：
-2,2,24,14,122,34，()括号中应该填什么？
那么下一个数字就是（7的x次方-x），其中奇数位x为3，偶数位x为2，得出结果为340。
六、碰头问题
6-1. 甲乙两人相约见面，见面的时间段在 10:00至11:00之间，并约定第一人到达后，等 15 分钟不见第二人来就可以离去。两人能见面的概率有多大？
思路：甲乙到达时间都是独立事件且在任意时刻到达的概率相同。
如图，横纵轴分别为甲乙到达的时间，则正方形与任何一种到达情况对应。阴影部分就是两个人能相遇的情况。阴影面积处以总的正方形面积就是相遇概率了。
6-2 扩展：甲乙两人相约见面，见面的时间段在 10:00至11:00之间，甲在到达后等10分钟之内乙不来就就离开，乙在到达后等15 分钟不见甲来就离去。两人能见面的概率有多大？
和上边的思路一样，先写不等式：（x表示甲到达的时间，y表示乙到达的时间）
x>y时，x-y
将上边的不等式以及结果区域表示在坐标上，算出结果区域的面积即可，最后得出结果概率约为0.37。
评论（0）